问题||角的大小与什么有关

 生活杂谈     |      2020-01-20 14:56
【问题】
二年级下册“角的初步认识”新授课上,关于“角的大小与什么有关”,经常会出现以下教学片断:
活动一:

角的大小与什么有关1
学生操作活动角,经过观察、讨论后得出:角的大小与两边张开的角度有关。
活动二:
角的大小与什么有关2
学生产生争论,有的认为两个角一样大,有的认为角4大。通过验证,两个角张开的角度相同,所以是一样大的。教师适时总结:角的大小与两边张开的角度有关,与边的长短无关。
就在这时,有学生提问:“老师,我还是觉得角4比角3大。你看——”用手势表示两边所夹的区域。
经过多次的动手操作、观察、辨析等,为什么该学生还是认为角4大?或者说,他只是一个代表,还有一部分学生也认为边越长,角就越大。我意识到,自己对于角的大小教学存在问题。
【分析】
根据“课程标准”的安排,小学数学教材中“角”的认识分为两段,第一段在二年级,主要是直观地认识角,大小不超过180度,知道直角、锐角和钝角;第二段在四年级,在射线的基础上建立角的概念,学会用量角器精确测量角的度数,扩展到周角。
教过二年级“角的初步认识”的教师都知道,这节课的教学难点是“角的大小与两边张开的角度有关,与边的长短无关”。如教学片断中所示,教师通常采用控制变量法,先让活动角的两边长短相等,张开的角度不同,引出角的大小与两边张开的角度有关。再让活动角的两边张开的角度相同,边的长短不同,引出角的大小与边的长短无关。为什么看似流畅的教学设计,最终的结果却不尽如人意呢?我以为,主要原因源于以下几个方面。
1、学生受直接经验的影响
一般来说,平面图形的大小指的是面积,那么对角的大小,学生很容易按照已有的经验,想当然地把“张开的程度、边的长短,以及两边之间所夹的区域”综合成一个整体,其实,就是把“角”想象成相应的“三角形”去比较。因此,他们会认为两边越长,占的面积就越大,从而角就越大。
2、对角的概念很模糊
四年级教材给出角的定义是“从一点引出的两条射线可以组成角”,二年级教材则更为模糊,角有一个顶点和两条边。那么,角到底是指图形中的什么?是不是只要学生认识顶点和边,就等于正确感知角的概念了呢?欧几里得的《几何原本》中对于角的本质,明确是“平面角是在一平面但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度”。由此可见,“一个顶点、两条直直的边”只是构成角的基本要素,角指的是倾斜度,与两边之间所夹的区域大小没有关系。
3、说“角的大小与边的长短无关”对吗?
角是具有公共端点的两条射线组成的图形,因为射线是向一方无限延伸的,所以无长短可言。另一方面,又说角的边有长短。因此,“角的大小与边的长短无关”这句话,本身就犯了“自相矛盾”的逻辑错误。教师应在教学中尽可能回避这种说法。
那如果用线段来定义角呢?画在纸上的射线仍旧是线段,对于小学数学学习来说,用线段定义角会更契合学生的生活世界。史宁中教授在《基本概念与运算法则》中给出角的描述性定义:“角由两条线段所夹部分组成,这两条线段的一个端点重合。称这两条线段为角的边,角的大小与边长无关。”张奠宙先生在《教材处理宜朴素自然、平易近人——关于小学数学教材里“角的认识”》一文中,也提出“用射线定义角,华而不实,弊多利少”。不过,从角的大小研究来看,不管角的两边是“射线”还是“线段”,角的边长都并非角的本质属性,角所要研究的是两边张开的角度。
【教学上的灵活处理】
角是一个很难描述清楚、很难理解的概念,“射线可无限延长、不可量化”和“角的大小固定、可量化”形成了对立统一的矛盾关系。这对以具体形象思维为主的二年级学生而言,是很难理解和掌握的。建议在教学“角的大小与什么有关”之前,可进行以下两点尝试。
1、建立“角的相等”概念
二年级学生对“角”的认识,建立在“一个顶点和两条直直的边”的基础上,而对“两条直边”的长短并没有要求,因此对于同一物体某一平面上的“角”,学生描画出来的两边往往长短都不同。可以组织学生观察、比较这些角有什么共同点,初步感知角都是相等的。结合“顶点对顶点、边对边”的操作,认识“角的相等”。再引发学生思考“什么情况下,两个角相等”,即两条边张开的角度相同,为学生学习“角的大小”做好铺垫。
2、充分利用“弧线”
“弧线”可以清晰表示开口方向、两边所夹区域、旋转扫过的区域等方面的含义。《教师教学用书》中明确指出“在角的图形里画‘弧线’表示出角,并告诉学生:以后可以用这样的方法表示角”。所以,在一系列找角、指角的活动中,学生不仅要能指出角的顶点及边,教师还需强调指角时要画小弧线,将学生的注意力引导到角的张口上,角就在这里,有利于学生准确认识角的本质,为学习“角的大小”埋下伏笔。
虽然这节课是“角的初步认识”,但教学目标定位不能是肤浅的认识,教师要追根溯源,把握概念的核心意义,让学生真正弄懂弄通所学知识,从而促进学生核心素养的提升。
【参考文献】
1、史宁中.基本概念与运算法则[M].高等教育出版社,2013:56.
2、张奠宙等.小学数学教材中的大道理——核心概念的理解与呈现[M]:上海教育出版社,2018:305,319.
 (南京市青秀城小学    吴敏)